Il nutrito gruppo di sostenitori del primato delle ragioni del cuore ama particolarmente una certa interpretazione del primo teorema di incompletezza di Goedel, proposta in particolare dall’enciclopedico R.Penrose.

Il primo teorema asserisce che un sistema formale che soddisfi certi requisiti di espressività, se è consistente allora è incompleto rispetto alle verità dell’artimetica. In particolare, esisterà sempre una formula vera della matematica che la teoria non può nè dimostrare nè refutare.

Questa è nel riassunto l’enunciazione del primo risultato di Goedel. L’interpretazione preferita da Ratzinger è: noi capiamo tutte le verità della matematica; una macchina (cioè un sistema formale) non può; dunque noi siamo qualcosa di più di una macchina! E questo qualcosa di più è l’anima, la mente, "segui il tuo cuore", ecc.

Per di più, pensarla in questo modo ci restituisce il brivido particolare della rivincita sulla TECNICA. Ah, questa maledetta tecnologia  non potrà mai replicare le mie irriproducibili sensazioni ed esperienze! Ed addirittura la batto sul suo stesso terreno, la matematica!

Tuttavia, questa interpretazione del teorema di incompletezza è facilmente demolibile con  più di un argomento. Tanto per cominciare, non si capisce bene il nesso semantico tra "dimostrare" una verità della matematica (una procedura ben definita) ed il "capire" una verità della matematica (qualcosa di molto più fumoso e soggettivo). In sostanza, l’argomento soffre, a partire dai suoi presupposti, dei difetti già presenti in certa cattiva filosofia.

Ma pensiamo per un momento di fare qualcosa di diverso. Prendiamo di petto la sfida, ed accettiamo il presupposto che il nostro "afferrare" enunciati matematici sia qualcosa di equivalente al "dimostrare" entro un sistema formale con i succitati requisiti (espressività delle funzioni ricorsive primitive, consistenza).
Ebbene, secondo me tanta tracotanza non è ugualmente giustificata. Infatti, si parte sempre dall’assunto che la nostra comprensione delle verità della matematica sia illimitata, perchè il nostro pensare è non-meccanico, o in qualche altro modo superiore al ragionamento meccanizzato.

Allora, caro lettore, afferra questo:

(define Y
  (lambda (le)
    ((lambda (f) (f f))
     (lambda (f)
       (le (lambda (x) ((f f) x)))))))


Ne dò pure gli strumenti di comprensione: si tratta della definizione di una funzione Y nel formalismo del LISP, un linguaggio di programmazione strettamente imparentato con il lambda-calcolo. Chi è avvezzo a quest’ultimo non ha sicuramente problemi a capirne la sintassi.
Ad uso e consumo, ne provo comunque a chiarificare la sintassi:

  • la sintassi per caratterizzare (in astratto) una funzione è
lambda (argomento) (valore)
  • la sintassi dell’applicazione di una funzione ad un argomento, oppure a due argomenti in successione, è

funzione argomento1

(funzione argomento1) argomento2

.Ad esempio, lambda (x y) (x+y) è la funzione-somma in astratto.
.lambda (x y) (x+y) (1 2) ha  come valore 3.

Ebbene, nonostante questo ripasso,  per me "afferrare" il Combinatore di punto fisso Y (il nome di quel mostro sopra) rimane un compito troppo arduo. Posso capirne dei fragmenti, posso comprendere cosa vuole dire la sintassi in punti specifici, ma non riesco ad afferrarne il significato complessivo. C’è forse un eccesso di ricorsione in tutto questo!

La beffa più grande è che qualsiasi computer (qualsiasi macchina di Turing) è in grado di  "comprendere" perfettamente di cosa si tratta. O quantomeno, può farlo molto meglio di me. E  non si tratta, badate bene, di un problema di performance, di forza bruta. Una macchina non ci riesce perchè ha più memoria. Credi si tratti invece di un problema di impostazione dell’apprendimento, basata su immagini piuttosto che su procedure ricorsvie. La mia personale idea è che il nostro venire a conoscere  sia stato impostato nel corso dell’evoluzione come un modello a reti neurali, piuttosto che come una macchina seriale.  Per  questo motivo saremo una specie sempre più forte nella pallavolo che nella risoluzione delle equazioni differenziali integrali.

Nonostante questo sia poco più di un gioco, volevo mostrare come possiamo scrivere, maneggiare, anche utilizzare qualcosa di matematico senza capirlo. C’è sempre un certo scarto tra "mostrare", "concepire", e dall’altra parte "afferrare" e "capire". Su questo ci sono riflessioni interessanti all’inizio di Tutto, e di più, il libro di Foster Wallace sul transfinito di Cantor. Proprio l’infinito, o meglio gli infiniti troppo infiniti (Aleph-2, Aleph-3,Aleph-omega,..) sembrano una cateogria di oggetti del pensiero che sfuggono immediatamente alla nostra comprensione. Proprio su queste considerazioni si basa una argomentazione molto più rigoroso e seria della mia, che vuole battere l’argomento di Penrose (in quel caso di Lucas, ma è simile) sul proprio campo. La trovate nelle pagine 489-518 di Goedel,Escher,Bach di D.Hosftader. Andate subito a leggerle, anzichè stare qui a sorbirvi le mie imprecisioni dilettantesche e falsamente evocative!

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