Category: Matematica


Il matrimonio tra il personaggio di Lewis Carroll e la fisica è stato celebrato in varie forme.
Da un lato, "Alice attraverso lo specchio" è un testo ricco di echi, nei quali si può leggere tutto o niente. A differenza di quanto visto con "Alice nel paese delle meraviglie", i riferimenti di fisica nel secondo libro sono poco più che evocazioni, ma riescono spesso a stuzzicare la nostra immaginazione.

Dall'altro, il testo di Carroll ha fornito uno spunto a vari testi divulgativi di fisica. Posso citare due esempi su tutti.
Il primo riguarda un misconosciuto testo di un certo Wm.Garnett, apparso nel 1918 sulla Mathematical gazzette (link su jstor). Il prof. Garnett presenta una piacevole analogia riguardo la geometria euclidea della fisica classica e la geometria curva della teoria della relatività, facendone i due lati dello specchio di Alice. Egli mostra in particolare come Alice-euclidea ed il suo alter-ego non-euclideo Alicia non riescano a mettersi mai d'accordo sulle dimensioni spaziali e temporali degli oggetti che entrambe percepiscono, enfatizzando così le scoperte della teoria della relatività.
Il secondo testo è molto più prossimo a noi, e si intitola "Alice nel paese dei quanti". Non l'ho letto, ma dal titolo sembra trattarsi di una divulgazione della meccanica quantistica attraverso il personaggio di Alice. Questa si trova a passeggiare tra elettroni e doppie fenditure…

Ma torniamo al libro originale. Di seguito, presento alcune citazioni. Lo so, non c'entrano molto, ma non ho trovato di meglio rileggendo…e dire che un testo dove c'è un mondo e la sua immagine allo specchio prometteva un sacco di citazioni di ottica! Comunque qualcosa dovevo pur scrivere ora che ho promesso una seconda parte! Siate clementi.

pag.139:
"Questo è l'effetto del vivere alla rovescia – spiegò pazientemente la regina. – Dapprima tutti rimangono un po' confusi, eppure è molto comodo, poiché la memoria può così funzionare in tutti e due i sensi."
"Io sono sicura che la 'mia' memoria funziona solo in un senso – disse Alice. – Non posso ricordare le cose che non sono ancora successe."
"E' un genere di memoria piuttosto inutile quello che funziona solo per il passato". Notò la regina.

pag.144:
E andarono con tale rapidità, […], si fermarono ed ella si trovò seduta per terra senza fiato e tutta stordita.
La Regina la appoggiò contro un albero e gentilmente le disse "Adesso puoi riposare un poco".
Alice si guardò attorno sbalordita "Ma come…direi che in tutto questo tempo non ci siamo mosse di qui. Non c'è nulla di cambiato attorno a quest'albero!"
"Naturalmente -disse la regina – che cosa avresti voluto?"
"Ma nel nostro paese – fece Alice ancora un po' ansimante – generalmente si arriva in un altro luogo…dopo aver corso così presto e per tanto tempo come abbiamo fatto noi.
"Deve essere un paese molto pigro! – disse la Regina – Qui invece bisogna correre più in fretta che si può, se si vuole restare nello stesso posto. Per andare in qualche altro luogo, si deve correre almeno con una velocità doppia alla nostra".

Poichè sono solo due, ne aggiungo altre due. La prima riguarda le parole ed il loro significato:

pag.184:
"Ma gloria non significa un bellissimo e irrefutabile argomento" obiettò Alice.
"Quando io uso una parola – ribatté Bindolo Rondolo piuttosto altezzosamente – Essa significa precisamente ciò che voglio che significhi…né più né meno."
"Bisognerebbe sapere – disse Alice – se voi potete dare alle parole molti significati diversi".
[…] Bindolo Rondolo ricominciò "Alcune parole hanno un carattere molto difficile…specialmente i verbi che sono orgogliosissimi…con gli aggettivi si può fare quello che si vuole…ma con i verbi…però io le so maneggiare tutte. Impenetrabilità! E' quello che dico sempre!".
"Vorreste spiegarmi per favore – disse Alice – cosa significa questo?"
"Intendevo, con impenetrabilità, che ne abbiamo avuto abbastanza di questo argomento e che sarebbe stato il caso di dirmi, da parte tua, che cosa intendi fare dopo, perchè suppongo che non vorrai fermarti qui per tutta la vita."
"E' un voler significare troppe cose a  una parola sola" – osservò Alice in tono pensoso.
"Quando a una parola faccio fare tanto lavoro – disse Bindolo Rondolo – la pago sempre di più".

La seconda (biologia?) è semplicemente molto divertente, a mio parere:

pag.217:
"La tua parrucca ti sta benissimo – mormorò il Vespone, guardandola con espressione ammirata: – è la forma della tua testa che si presta. Le tue mandibole, però, non sono ben messe…mi sbaglio o non ti riesce di mordere bene?"
Alice iniziò con un lieve scoppio di risa, che trasformò in tosse meglio che poté. Infine le riuscì di dire in tono grave: "posso mordere tutto ciò che voglio".
"Non con una bocca così piccola – si ostinò il Vespone – si ti trovassi in una zuffa, adesso…potresti afferrare l'altro per il dietro del collo?"
"Temo di no" disse Alice.
"Beh, è perchè hai le mandibole troppo corte – proseguì a dire il Vespone – ma la cima della testa è bella tonda. […] I tuo occhi, poi… sono troppo sul davanti, è indubbio. Ne sarebbe bastato uno al posto di due, se 'devi' proprio averli così vicini…"
Ad Alice non garbò che le facessero tante osservazioni riguardanti la sua persona, e dal momento che il Vespone s'era ripreso d'animo e s'era fatto assai loquace, pensò che poteva benissimo lasciarlo per conto suo.

Non riporto tutti i riferimenti agli scacchi, perchè sono innumerevoli. Tutto il racconto è costruito come una partita, con mosse riproducibili che portano allo scacco matto. Buona lettura!

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Ho passato gli ultimi tre mesi (passati dal post precedente) a trovare una moda alla quale conformarmi per raccogliere più utenti su questo blog…e finalmente, in questi giorni, è arrivato il segnale che aspettavo, con l'uscita di un (brutto) film sui romanzi di Lewis Carroll!

Chi è stato nelle sale in questi giorni potrebbe avere l'impressione che non ci sia poi tanta differenza tra i due libri di Alice e Fantaghirò (in assenza del tono epico proprio de  "Le cronache di Narnia" o "Il signore degli anelli"). 

Quello che Burton non è riuscito a trasmettere è che il paese delle Meraviglie non è solo un universo fantasy, così come Lewis Carroll non è solo un narratore per bambini. I due romanzi sono colmi di giochi di parole, allusioni alla matematica, la logica (simbolica, non quella della settimana enigmistica), la fisica, gli scacchi. Charles Lutwidge Dodgson (questo il suo vero nome) era infatti un matematico di livello, autore oltre che di romanzi per bambini anche di saggi scientifici e un libro, "Il gioco della logica", ristampato in tempi recenti da Boringhieri (lo consiglio a tutti).

Per rendere l'idea, vediamo dunque alcune delle allusioni contenute nel primo dei due libri (i riferimenti sono all'edizione Einaudi – gli struzzi – del 1967, che ho comprato nel mio ultimo viaggio nel tempo).

 

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– Nel primo capitolo, p.10, Alice si sta accorciando. Ad un certo punto esclama:

"Potrebbe finire, capite, che mi consumi tutta come una candela. Chissà come sarei allora?".

Prosegue il testo:

'E cercò di immaginare come è la fiammella di una candela consumata, perchè non riusciva a ricordare d'aver mai visto una cosa simile.'

Al di là del sapore zen della fiamma di una candela consumata, si può leggere in questo passaggio una allusione al concetto di limite in matematica.

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– Nel secondo capitolo, p.15, Alice cerca di riepilogare 'tutte le cose che di solito sa'. Tra queste:

Dunque: quattro per cinque fa dodici, e quattro per sei fa tredici, e quattro per sette…oh cielo! Non arriverò mai a venti di questo passo!

4 x 5 = 12 se ragioniamo in base 18 anzichè in base 10 (infatti 4×5=20, 20/18 = 1 con resto 2). Allo stesso modo, 4 x 6 = 13 in base 21. Se Alice proseguisse, probabilmente farebbe 4 x 7 = 14, in base 24. In effetti, Alice non arriverà mai  ad un risultato di 20, in quanto dopo le cifre 0-9 cominciano le lettere, e nessun risultato espresso in base 10 dividerà la base effettiva (che progredisce di 3 in 3) esattamente per 2.
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– Nel quinto capitolo, p.54, Alice ha importunato con la sua crescita rapida il nido di un piccione. Questi è terrorizzato dal pericolo che la bambina possa essere un serpente. Dice il piccione:

"Scommetto che adesso mi dirai di non aver mai assaggiato un uovo!"
[Alice:] "Ho assaggiato delle uova, certo" […] "Ma le ragazzine mangiano le uova proprio come i serpenti, sai.
[Piccione:]"Non ci credo […] ma se lo fanno, allora sono una specie di serpenti, devo per forza concludere."

 

La conclusione del piccione contiene molti echi. Alcuni rimandano alla filosofia, in particolare alla concezione essenzialista delle specie per Aristotele: il piccione potrebbe pensare che è proprietà intrinseca, definitoria dei serpenti l'essere mangiatori di uova, così come l'uomo è 'animale razionale'. Non può non essere serpente chi è mangiatore di uova!
Il ragionamento del piccione potrebbe anche avere la forma di un sillogismo (non chiedetemi di quale forma però..non ho controllato!), e rieccheggia un tipico modo di procedere delle scienze deduttive.

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– Nel sesto capitolo, p.65, Alice vede svanire il Gatto del Cheshire un pezzo alla volta, e per ultima la sua bocca. Esclama:

"Accipicchia! Ho visto spesso un gatto senza sogghigno [..] ma un sogghigno senza gatto mai! E' la cosa più buffa che abbia visto in vita mia!"

In questo passaggio c'è una bella allusione alla progressiva astrazione verso cui si stava muovendo la matematica contemporanea a Lewis Carroll. Così come possiamo trattare il numero tre in assenza di tre sedie o tre pere, così il sogghigno aleggia anche in assenza del gatto. A me questo passaggio ricorda anche un passo delle Categorie di Aristotele, in cui si discute della dipendenza della parte dal tutto (branca della metafisica detta mereologia).

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– Nel settimo capitolo, p.67, Alice arriva alla tavola del cappellaio matto. Durante una conversazione dice:

"Va bene, almeno intendo dire quello che dico… che è la stessa cosa, no?"

Ma il cappellaio matto (che per inciso è tutt'altro personaggio rispetto ad un malinconico e assennatissimo Jack Sparrow con il cerone) dissente:

"Non è per niente la stessa cosa! Allora potresti anche dire che 'vedo quello che mangio' sia la stessa cosa di 'mangio quello che vedo' !"

Il cappellaio sta mostrando ad Alice che non sempre il valore semantico di una certa proposizione è lo stesso della sua conversa. Dal punto di vista logico, si stanno confrontando in questo caso una relazione e la sua relazione inversa.

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– A p.70, Il cappellaio e il leprotto marzolino spiegano ad Alice che continuano a spostarsi in circolo intorno al tavolo, per avere sempre una tazza da té pulita. Alice si domanda allora:

Ma quando tornate ancora al posto di partenza, cosa succede?

E' una allusione al meccanismo dell'addizione in modulo n sui numeri interi. Qualcuno ha anche immaginato che il riferimento al circolo possa essere una rappresentazione della struttura algebrica denominata anello; è tale per l'appunto l'insieme degli interi con l'addizione e la moltiplicazione.

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Spero con questi accenni di aver dato un'idea dei vari livelli di lettura che quest'opera contiene. Su internet troverete informazioni anche su citazioni di altro genere – letterarie, linguistiche, storiche – con le quali Lewis Carroll ha infarcito la propria opera e nessuna rivisitazione cinematografica ha avuto molto interesse a rendere. 

Concludo segnalando un libro poco conosciuto del grande romanziere di fantascienza Fredric Brown, incentrato su accadimenti e personaggi carrolliani. Pur essendo di genere giallo-grottesco, è a mio giudizio una delle opere più vicine alla sensibilità e lo spirito originali dell'autore di Alice.

Il visitatore che non c'era
Fredric Brown
Paolillo collana I bassotti

Nella prossima parte, alcune citazioni filosofiche, matematiche, logiche e fisiche tratte dal secondo dei romanzi di Carroll, "Attraverso lo specchio".

Post scriptum – per le informazioni contenute in questa pagina ho spudoratamente copiato e rielaborato parti di: voce "Alice in wonderland" (wikipedia), sito "Alice nel paese della matematica", yahoo answers (le custodi di tutto lo scibile quotidiano).

Il nutrito gruppo di sostenitori del primato delle ragioni del cuore ama particolarmente una certa interpretazione del primo teorema di incompletezza di Goedel, proposta in particolare dall’enciclopedico R.Penrose.

Il primo teorema asserisce che un sistema formale che soddisfi certi requisiti di espressività, se è consistente allora è incompleto rispetto alle verità dell’artimetica. In particolare, esisterà sempre una formula vera della matematica che la teoria non può nè dimostrare nè refutare.

Questa è nel riassunto l’enunciazione del primo risultato di Goedel. L’interpretazione preferita da Ratzinger è: noi capiamo tutte le verità della matematica; una macchina (cioè un sistema formale) non può; dunque noi siamo qualcosa di più di una macchina! E questo qualcosa di più è l’anima, la mente, "segui il tuo cuore", ecc.

Per di più, pensarla in questo modo ci restituisce il brivido particolare della rivincita sulla TECNICA. Ah, questa maledetta tecnologia  non potrà mai replicare le mie irriproducibili sensazioni ed esperienze! Ed addirittura la batto sul suo stesso terreno, la matematica!

Tuttavia, questa interpretazione del teorema di incompletezza è facilmente demolibile con  più di un argomento. Tanto per cominciare, non si capisce bene il nesso semantico tra "dimostrare" una verità della matematica (una procedura ben definita) ed il "capire" una verità della matematica (qualcosa di molto più fumoso e soggettivo). In sostanza, l’argomento soffre, a partire dai suoi presupposti, dei difetti già presenti in certa cattiva filosofia.

Ma pensiamo per un momento di fare qualcosa di diverso. Prendiamo di petto la sfida, ed accettiamo il presupposto che il nostro "afferrare" enunciati matematici sia qualcosa di equivalente al "dimostrare" entro un sistema formale con i succitati requisiti (espressività delle funzioni ricorsive primitive, consistenza).
Ebbene, secondo me tanta tracotanza non è ugualmente giustificata. Infatti, si parte sempre dall’assunto che la nostra comprensione delle verità della matematica sia illimitata, perchè il nostro pensare è non-meccanico, o in qualche altro modo superiore al ragionamento meccanizzato.

Allora, caro lettore, afferra questo:

(define Y
  (lambda (le)
    ((lambda (f) (f f))
     (lambda (f)
       (le (lambda (x) ((f f) x)))))))


Ne dò pure gli strumenti di comprensione: si tratta della definizione di una funzione Y nel formalismo del LISP, un linguaggio di programmazione strettamente imparentato con il lambda-calcolo. Chi è avvezzo a quest’ultimo non ha sicuramente problemi a capirne la sintassi.
Ad uso e consumo, ne provo comunque a chiarificare la sintassi:

  • la sintassi per caratterizzare (in astratto) una funzione è
lambda (argomento) (valore)
  • la sintassi dell’applicazione di una funzione ad un argomento, oppure a due argomenti in successione, è

funzione argomento1

(funzione argomento1) argomento2

.Ad esempio, lambda (x y) (x+y) è la funzione-somma in astratto.
.lambda (x y) (x+y) (1 2) ha  come valore 3.

Ebbene, nonostante questo ripasso,  per me "afferrare" il Combinatore di punto fisso Y (il nome di quel mostro sopra) rimane un compito troppo arduo. Posso capirne dei fragmenti, posso comprendere cosa vuole dire la sintassi in punti specifici, ma non riesco ad afferrarne il significato complessivo. C’è forse un eccesso di ricorsione in tutto questo!

La beffa più grande è che qualsiasi computer (qualsiasi macchina di Turing) è in grado di  "comprendere" perfettamente di cosa si tratta. O quantomeno, può farlo molto meglio di me. E  non si tratta, badate bene, di un problema di performance, di forza bruta. Una macchina non ci riesce perchè ha più memoria. Credi si tratti invece di un problema di impostazione dell’apprendimento, basata su immagini piuttosto che su procedure ricorsvie. La mia personale idea è che il nostro venire a conoscere  sia stato impostato nel corso dell’evoluzione come un modello a reti neurali, piuttosto che come una macchina seriale.  Per  questo motivo saremo una specie sempre più forte nella pallavolo che nella risoluzione delle equazioni differenziali integrali.

Nonostante questo sia poco più di un gioco, volevo mostrare come possiamo scrivere, maneggiare, anche utilizzare qualcosa di matematico senza capirlo. C’è sempre un certo scarto tra "mostrare", "concepire", e dall’altra parte "afferrare" e "capire". Su questo ci sono riflessioni interessanti all’inizio di Tutto, e di più, il libro di Foster Wallace sul transfinito di Cantor. Proprio l’infinito, o meglio gli infiniti troppo infiniti (Aleph-2, Aleph-3,Aleph-omega,..) sembrano una cateogria di oggetti del pensiero che sfuggono immediatamente alla nostra comprensione. Proprio su queste considerazioni si basa una argomentazione molto più rigoroso e seria della mia, che vuole battere l’argomento di Penrose (in quel caso di Lucas, ma è simile) sul proprio campo. La trovate nelle pagine 489-518 di Goedel,Escher,Bach di D.Hosftader. Andate subito a leggerle, anzichè stare qui a sorbirvi le mie imprecisioni dilettantesche e falsamente evocative!